Tout commence par une énigme attribuée à l'Antiquité grecque : construire, à la règle et au compas, l'arête d'un cube de volume double. Algébriquement, cela revient à insérer deux moyennes proportionnelles m1 et m2entre 1 et 2, c'est-à-dire à résoudre 1 : m1 = m1 : m2 = m2: 2. La solution fait apparaître ∛2 et ∛4. Le nom de « Pandrosion » sert ici de motivation historique pour toute une famille de constructions par moyennes proportionnelles ; l'intérêt de ce papier n'est pas de battre Newton en vitesse, mais de montrer qu'une géométrie de proportions donne une carte de point fixe dont le profil d'erreur se calcule exactement.
De la duplication du cube à une itération
La procédure géométrique ne produit pas la valeur exacte en un nombre fini d'étapes : elle produit une suite d'approximations. C'est le point de vue moderne décisif — la construction estune itération, et la suite d'erreurs est son empreinte. Dans le cas de la racine cubique, on peut écrire l'itération sous une forme étonnamment compacte. En posant s pour la variable interne du diagramme, on obtient :
Le point fixe est s∗ = 2−1/3, et la valeur lue sur le diagramme converge vers ∛2. La scène ci-dessous fait tourner exactement cette itération : le cube vert grandit jusqu'à atteindre le volume double, pendant que l'escalier reconstruit l'échelle des moyennes 1 : ∛2 : ∛4 : 2.
Le polynôme Sp et la carte universelle
En généralisant à zp = x, un objet revient sans cesse : la somme géométrique finie Sp(s) = 1 + s + … + sp−1. Elle n'a rien d'arbitraire : répéter le théorème de Thalès empile une progression géométrique de rapports, et cette progression est exactement Sp. L'identité 1 − sp = (1 − s) Sp(s) est le pont entre la construction géométrique et la carte de point fixe. La carte de Pandrosion s'écrit alors, sans aucune dérivée :
Le facteur de contraction au point fixe se met sous une forme close remarquable : λp,x = 1 − p / Sp(α), avec α = x1/p. C'est l'« empreinte » du profil résiduel : si x est proche de 1, λ est petit et la géométrie converge vite ; si xest grand, λ s'approche de 1 et tout ralentit. D'où l'idée centrale du papier : il faut changer x avant de former cette empreinte.
L'idée en une phrase.Pandrosion fournit une carte de point fixe géométrique ; sa contribution distinctive est le profil résiduel monomial exact et la règle selon laquelle la mise à l'échelle doit rendre |log y| petit avantque l'itération ne commence.
Thalès, inversion et charts de la sphère de Riemann
La mise à l'échelle de Thalès est l'amélioration la plus utile : si x est grand, on écrit x = Bpu et on calcule sur la cible normalisée up = x/Bp, plus proche de 1. L'homothétie ne se contente pas de normaliser l'entrée : elle change la géométrie avant que Pandrosion ne commence. Pour les très petites cibles, la bonne géométrie n'est plus le chart affine d'origine mais le chart réciproquede la sphère de Riemann — l'inversion z ↦ 1/zéchange les voisinages de 0 et de l'infini. Choisir le chart et l'échelle qui rapprochent la cible logarithmique de zéro est l'analogue, sur la sphère de Riemann, de la mise à l'échelle de Thalès.
Sur les complexes, l'équation zp = x a p racines, réparties régulièrement sur un cercle de rayon |x|1/p : ce sont les ancres cyclotomiques. Le schéma complexe devient une méthode à départs multiples : on sème un point dans le disque de contraction d'une ancre, et il y converge. Le sélecteur du plus proche voisin découpe le plan en cellules de Voronoï. Faites tourner la scène, changez p, et regardez les points semés filer vers leur racine.
La renormalisation itérée (IRP)
Le facteur de contraction étant petit quand la cible normalisée est proche de 1, on peut transformer cette règle de préconditionnement « une seule fois » en mécanisme d'accélération dynamique. C'est la Pandrosion renormalisée itérée(IRP) : après chaque couche brute, on recalcule le chart résiduel avant d'appliquer la suivante. Localement, une couche renormalisée est quadratique en l'erreur logarithmique ; empiler les couches amplifie l'ordre de façon dyadique — deux couches sont quartiques, trois couches d'ordre huit, et ainsi de suite.
Ce n'est ni une correction d'Aitken–Steffensen ni une formule de Halley : il n'y a aucune annulation de dérivée, aucun quotient d'extrapolation. L'ordre supérieur vient de la cascade renormaliser → Pandrosion brut → renormaliser → Pandrosion brut → …, qui ramène sans cesse la géométrie résiduelle près de la cible 1 avant de laisser la carte agir. La course ci-dessous compare, sur le problème normalisé u³ = 4, le régime linéaire brut, l'effondrement de l'IRP, et la référence quadratique de Newton.
Conclusion : pourquoi c'est intéressant
Le message n'est pas que Pandrosion domine Newton — ce n'est généralement pas le cas pour l'extraction de racine en virgule flottante. Le message est qu'une construction par moyennes proportionnelles fournit un opérateur de point fixe dont le profil résiduel est exactement analysable, et dont la performance s'améliore radicalement sous la mise à l'échelle par chart et la renormalisation itérée. Sa niche naturelle est l'exposition mathématique, la reconstruction historique et le préconditionnement conscient de la géométrie. Une vieille question grecque, relue avec les outils de la dynamique sur la sphère de Riemann.
D'après « A Monomial Pandrosion Scheme — Contraction, Chart Scaling, and Iterated Renormalization for zp = x », Ivan Besevic, Independent Mathematical Research, mai 2026.
